التفاضل (اولى علوم طبيعية) (2019-2020)

سندرس في الترم الاول التفاضل وفى الترم الثانى التكامل ونسمى حساب التفاضل والتكامل بالكلمة (Calculus)

الأصل في التسمية:

كلمة ""Calculus هي كلمة لاتينية تعني بالعربية "حَجَر" حتى أن هذه الكلمة مازالت تستخدم حتى الآن في الطب كمرادف للحصوة التي توجد في أجزاء مختلفة من جسم الإنسان مثل: حصوة الكلية أو حصوة المرارة. وقد استخدم الرومان هذه الكلمة للحجر الذي استعملوه في "المعرفة" أو "الحساب" وقد تطور استخدام كلمة "Calculus" حتى أصبح يعني في وقتنا الحاضر مجال الرياضيات الذي يتعلق بحساب التفاضل Differential Calculus و حساب التكامل Integral Calculus والمفاهيم المرتبطة بهما و تطبيقاتهما ويطلق عليه في بعض الأحيان "حساب الكميات المتناهية الصغر" بسبب أن هذا الموضوع في بداية نشأته إنما كانت تعاملاته هي مع الكميات المتناهية الصغر, التي نوضح مفهومها في المثال الآتي:

اذا اعتبرنا نمو نبات صغير, فإنك تعلم أنه ينمو نمواً تدريجياً ومتصلاً, وإذا قيس طول النبات بعد بضعة أيام, فإن هذا الطول سيكون محسوساً ويمكن قياسه مباشرة, ولكنك إذا أردت قياس طول هذا النبات بعد بضعة دقائق, فإنك على الرغم من معرفتك بأن النبات مازال ينمو, إلا أنه يصعب عليك تمييز القدر الذي نما به طول النبات, وهكذا كلما قصرت الفترة الزمنية للقياس (عدة ثوان مثلاً) فإنه يستحيل قياس التغير في الطول على الرغم من معرفتك بأن النبات ينمو في كل لحظة, ونقول في لغة الرياضيات أن طول النبات قد تغير تغيراً متناهياً في الصغر.

 وهذه العملية التدريجية المتصلة بالنمو أو الزيادة (أو النقصان) ليست قاصرة على المثال السابق ولكنها توجد في كثير من الكائنات الحية و التي لم يكن المثال السابق إلا واحداً منها.

ولا يهمنا في الواقع في معظم الحالات معرفة التغير الحقيقي الحادث للظاهرة بقدر اهتمامنا بما نسميه  "معدل التغير"  (Rate of change)   ويرتبط بهذا التعبير الأخير ما يعرف باسم التفاضل والذي يكون المنهج في الترم الاول.

نبذة تاريخية:

يعتبر علم التفاضل والتكامل واحداً من أعظم الاكتشافات في تاريخ الرياضيات ومازالت القوة السائدة في الرياضيات لقرابة الثلاثمائة عام حتى الآن. وقد نشأ هذا العلم من محاولات تحليل مسارات المنحنيات و السطوح في الهندسة والظواهر دائمة التغير في العالم الفيزيائي. هذه المحاولات التي استخدمت فيها الوسائل الجبرية والهندسية بما في ذلك الهندسة التحليلية, لم تؤدِّ إلى فائدة تذكر, على الرغم من التوصل إلى نتائج صحيحة في العديد من الحالات الخاصة لبعض المسائل المعروضة.

يُرجع المؤرخون الفضل في اكتشاف علم التفاضل والتكامل  الى نيوتن "Newton" الإنجليزي و ليبنتز "Leibniz" الألماني وقد اختلف الإنجليز والألمان في أول من اكتشفه فيقول الألمان أن ليبنتز نشر أول مقالة له في الموضوع في عام 1684 على الرغم من أن هذه المقالة أوضحت انه استخدم طرق الموضوع في عام 1675. وأما نيوتن فقد نشر كتابه في عام 1693 على الرغم أنه تحدث لأصدقائه عن الموضوع في عام 1669.

وعلى أية حال فإن العالمين اكتشفا طرقاً عامة. تطورت بعد ذلك في القرون المتعاقبة. إن وسيلة التفاضل والتكامل التي تفوقت على الوسائل الجبرية هي نهاية متتابعة لانهائية. فبمجرد تكوين هذا المفهوم, فإنه يؤدي إلى تحديد معنى لنهاية دالة, الذي يؤدي بدوره إلى المفاهيم المتعلقة بالشقين الأساسين للموضوع: حساب التفاضل وحساب التكامل.

فباستخدام مفهوم النهاية يمكننا التوصل إلى تحليل ذي معنى لميل واتجاه منحنى "عند نقطة" أو الحركة "عند لحظة". والتفاضل هو عملية إيجاد المشتقات. والمشتقة هي نهاية نسبة, تتكون إلى ميل المماس لمنحنى مسند إلى نظام أحداثي معين, أو تؤدي إلى السرعة اللحظية لجسم متحرك أو معدلات التغير الدقيقة في أحوال أخرى.

وفى هذا المقرر سنهتم بتوضح وعرض اساسيات علم التفاضل التى يبنى الطالب عليها اسس الرياضيات, وسنتابع في السكاشن في حل واجابة التمارين مع الطلبة ومشاركة الطلبة في الحلول والابداع كما سيكون للطالب واجبات في كل سكشن حتى يتابع اولا باول في السكاشن والمحاضرات.