فى هذا السكشن سنقوم بتقديم مفاهيم اساسية عن المجموعات وعن خصائصها ونقوم باثبات بعض الخصائص مثلا خاصية ديمرجان.

المجموعات (Sets)

لعل المجموعة هى اهم ما جادت به رياضيات القرن الماضى, لكونها اللبنة التى تبنى منها بقية المفاهيم الرياضية وكغيرها من المفاهيم الرياضية  . وكغيرها من المفاهيم التى تستخدم فى تعريف  ما عداها, فهى غير قابلة للتعريف لذلك تسمى مفهوما اوليا.

المجموعة فى عموميتها تدل على اى تجمع من الاشياء غير ان الذى يهمنا فى هذا المقام هو المجموعات المكونة من اعداد ونحن اذ نعد انفسنا لدراسة مجموعات ونظم الاعداد بشئ من التفصيل فى السكاشن القادمة.

قد تكون المجموعة قيد البحث فى دراستنا مجموعات منتهية مثل مجموعة الاعداد الفردية من 1 الى 9 المكونة من خمسة عناصر والتى تكتب بالشكل 

{1,3,5,7,9}

او قد تكون غير منتهية مثل مجموعة الاعداد الطبيعية

{1,2,3,4,...}

وكما ان الصفة الاساسية للتقرير الرياضى  هو الصواب والخطا فان الصفة الاساسية للمجموعة هى انه لاى عدد a اما ان نقول ان a ينتمى الى المجموعة A او ان a لا تنتمى الى المجموعة A.

ثم نقدم خواص المجموعات والعمليات على المجموعات من اتحاد وتقاطع وفرق مجموعتين 

ونقوم باثبات قانون ديمرجان فى حالة مجموعتين وفى الحالة العامة ايضا.

ثم نقدم مقدمة بسيطة عن الدوال.

الدوال

يعتبر موضوع دراسة الدوال من الموضوعات الاساسية لدراسة حساب التفاضل والتكامل .
سنتعرض فى هذا الباب الى ماهية الدوال وكيف يمكن تمثيلها كرسم بياني وكيف يمكن تصنيف هذه الدوال .

تعتبر الدوال اداة لوصف العالم الحقيقى باستخدام تعبير رياضى , كما انه يمكن تمثيل الدالة (التعبير عن الدالة) كمعادلة , رسم بيانى, جدول رقمى, او وصف شفهى .

الدوال, المجال, والمدى                             

درجة حرارة غليان الماء يعتمد على ارتفاع مستوى البحر, مساحة الدائرة تعتمد على طول نصف قطر الدائرة, والمسافة التى يقطعها  جسم يسير بسرعة ثابتة على خط مستقيم  تعتمد على الوقت المنقضى.

فى كل حالة من هذه الحالات نجد ان قيمة متغير وليكن    يعتمد على قيمة متغير  اخر وليكن   هنا نقول ان دالة فى   وتكتب بالرموز الرياضية 

(y=f(x

ملاحظة:  قد لا يتضمن المدى جميع عناصر المجموعة Y

غالباً ما نجد ان الدالة تعطى صيغة لوصف كيفية حساب القيمة الناتجة (المخرجات) من المتغيرات الداخلة (المتغيرات المستقلة), على سبيل المثال

المعادلة A=Pi r^2 قاعدة لحساب المساحة لدائرة نصف قطرها  r  فى حالة تعريف الدالة (y=f(x بصيغة معينة وعدم ذكر المجال بشكل واضح أو تقييد المجال بسياق معين يكون المجال فى هذه الحالة أكبر مجموعة من قيم  الحقيقية التى تعطى قيم Y 

حقيقية ويسمى بالمجال الطبيعي.

المجال والمدى للدوال ذات القيم الحقيقية عبارة عن فترات قد تكون مفتوحة, مغلقة, او نصف مفتوحة , منتهية او غير منتهية.

امثلة 

مثال(1) دعنا نتحقق من المجال والمدى المرتبط به لكلاً من الدوال الاتية:

(1) Y=x^2

(2) y=1/x

(3) y=1/x-1

 

خصائص المقياس وتعريفه (القيمة المطلقة)

x|=x, x>0|

x|=-x, x<0|

x|=0, x=0|

دالة المسافة فى الاعداد الحقيقية |x-y|

خواص دالة المسافة 

(1) دالة المسافة دائما موجبة x-y|>0|

(2) اذا ساوت  دالة المسافة الصفر هذا يعنى ان النقطتين x,y منطبقتين وهذا يعنى ان x=y

(3) دالة المسافة تبادلية بمعنى ان المسافة بين x و y هى ذاتها المسافة بين y و x 

(4) دالة المسافة تحقق خاصية المثلث وهى ان مجموع اى ضلعين فى المثلث اكبر من الضلع الثالث