مادة المقال والبحث 

 Some topics of Real and Functional Analysis

Contents
Acknowledgment 9
I Real Analysis 11
1 The properties of Real Numbers 13
1.1 The Algebraic Properties of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 The Order Properties of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Sequence 19
2.1 A Sequence of the Real numbers . . . . . . . 

2.2 Monotone Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Limits 23
3.1 Limits of function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Continuous Functions 27
4.1 Continuous function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Continuous Functions on Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Differentiation 31
5.1 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 The Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3.1 Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6 The Riemann Integral 35
6.1 Riemann Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1.1 Upper And Lower Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Poperties of Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3.1 Fundamental Theorem of Calculus (First Form) . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3.2 Corollary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.3 Fundamental Theorem of Calculus (Second Form) . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.4 Corollary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.5 Fundamental Theorem of Calculus (Combined Form) . . . . . . . . . . . . 39
6.3.6 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3.7 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7 Infinite Series 41
7.1 The Convergence and Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Algebra of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3 Positive - Term Series and Absolute Convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.3.3 Comparison Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3.4 Cauchy’s Root Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3.6 Triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
II Functional Analysis 45
8 Metric Spaces 47
8.1 Metric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.1.3 Definition (Ball and sphere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.1.4 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.1.5 Definition (Open set, closed set) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.1.6 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.1.7 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.1.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.1.9 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.1.10 Definition (Dense set, separable space). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.1.11 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2 Convergence, Cauchy Sequence, Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2.1 Definition (Convergence of a sequence, limit) . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.2.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2.4 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2.5 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2.6 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2.7 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
8.2.8 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9 Normed Spaces and Banach Spaces 53
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Normed Spaces and Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2.2 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2.3 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2.5 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.2.6 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10 Inner Product Spaces, Hilbert Spaces 55
10.1 Inner Product Spaces. Hilbert Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10.1.2 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.1.3 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.1.4 Lemma (parallelogram equality) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
CONTENTS 7
10.1.5 Remark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.1.6 Definition (Orthogonality) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10.1.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.1.8 Polarization identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.1.9 Pythagorean theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
References